Rabu, 25 Januari 2012

Dia Pergi Untuk Selama-lamanya


Ahad/Minggu, 22 Januari 2012

Minggu sore, adalah awal kejadian itu.
Minggu sore, aku terima kabar duka itu.
Minggu sore, adalah hari terakhir aku bersamanya.
Minggu sore, aku tak akan pernah bertemu sosok dia lagi.
Esok.. dan esok.. aku tak akan pernah bisa menyapanya lagi...

“Assalamu’alaikum Kak...”

Kata itu hanya tinggal kenangan bersama dia, wahai kakak ku yang soleha semoga kau tenang disana, tidurlah.. tidurlah... dengan nyaman disisi-Nya kak.

Jadi teringat K-Drama 49 Days, ada sosok malaikat maut, yang siap memanggil lift menuju ke akhirat ataupun ke surga bagi yang sudah menjelang ajalnya. Lift untuk kakak itu mungkin sudah datang, dan ia sudah siap menuju surga-Nya Allah.

Sore itu aku terima sms dari teman sekelasku, lebih tepatnya sudah seperti saudara sendiri. Ia mengabarkan dengan sms...

“kamu udah tau belum kalau Dede Rika meninggal siang tadi di Sukabumi”.

Sontak aku kaget dan diliputi rasa tidak percaya bahwa ia telah tiada, aku tanya kembali kabar mengenai kabar itu, sungguh benar kabar itu. Maut datang tak akan pernah ada yang tau, hanya Dia yang tau kedatangan malaikat maut itu. Entah saat yang tidak memungkinkan dan dalam masa suasana Ujian Akhir Semester, dan saat Ujian Pengendalian Mutu nanti sosok ia tidak akan ditemui. Sekarang~ Esok~ Lusa~ dan selamanya.

Ia hanya sebuah kenangan,

Ia hanya sebuah nama,

Ia hanya sebuah ingatan,

Ia hanya sebuah sepenggal kisah yang kemarin,

Ia akhwat soleha... Allah menitipakan mu di dunia ini untuk menerangi dunia ini dengan ke solehan mu walau itu hanya sebentar.

Berapa usia mu kak?

Entah usia dia berapa, tetapi aku teringat kembali dengan kutipan kata-kata yang diucapkan Yi Soo dalam K-Drama 49 Days, ia berkata ..

”Apakah kau pernah merasakan mati muda ?”
“Apakah kau pernah merasakan meninggal di usia 23 tahun ?”

Kata-kata itu dikatakan Yi Soo dalam keadaan emosi saat berbicara dengan Ji Young, tapi dari kata-kata itu memiliki makna yang besar dan dapat diambil sebagai bahan perenungan. Kalau aku akan menjawab...

“Bagaimana kalau itu aku ?”

Selamat tinggal kak Dede semoga kau tenang disana, istirahatlah dengan tenang disisi-Nya.
Allah sungguh menyayangimu, sungguh...

Sabtu, 14 Januari 2012

Hanbok Photo Contest by KCCI (Korean Cultural Center Indonesia)

nqvhoz.jpg (550×778)


Dalam rangka Tahun Baru Lunar 2012, Korean Cultural Center mengadakan foto kontes dengan tema “We Love Hanbok”. Pastinya bakalan ada hadiah menarik buat yang menang kontes ini. Tertarik buat ikutan? Yuk, simak caranya berikut ini!
Peserta
Pengunjung Korean Cultural Center yang berpartisipasi dalam acara Hanbok Experience. Hanbok Experience merupakan program rutin KCC yang diselenggarakan setiap hari Jumat dimana pengunjung bisa mencoba mengenakakan pakaian tradisional Korea, yaitu Hanbok.
Periode
Periode upload foto       : 16 – 31 Januari 2012
Periode voting               : 01 – 05 Februari  & 6 Februari 2012 (hanya sampai jam 09.00 WIB)
Pengumuman                 : 6 Februari 2012
Tata Cara
1. Foto gaya terbaikmu saat mengenakan Hanbok di Korean Cultural Center.
2. Upload foto tersebut di website resmi kcc, http://id.korean-culture.org
•   Login
•   Untuk upload, pilih menu Kegiatan Pusat Kebudayaan > Kontes Foto
•   Klik tombol Tulis untuk upload foto.
•   Ketik “We Love Hanbok” sebagai judulnya. Beri sedikit penjelasan mengenai alasan menyukai Hanbok pada kolom Isi.
•   Upload foto dengan lebar 150 pixel  pada gambar thumbnail.
•   Upload foto dengan lebar 550 pixel pada gambar.
•   Klik tombol Tulis.
3. Satu peserta hanya boleh mengikutsertakan maksimal dua foto.
4. Foto yang sudah di-upload di website akan kami upload di facebook untuk mendapatkan penilaian. Penilaian berdasarkan jumlah LIKE yang didapat.
Hadiah
1. Juara pertama   : LG Optimus Pad 3D
2. Juara kedua : Voucher Lottemart @Rp 1.000.000 untuk dua orang pemenang
3Juara ketiga    : CD K-POP & Poster KPOP untuk 5 orang pemenang
4Juara harapan   : 10 Juara harapan, masing-masing akan mendapatkan kantong keberuntungan (복주머니), Satu set perlengakapan tahun baru lunar (정월 대보름용 부럼세트)

Kamis, 12 Januari 2012

Beethoven Virus Season 2 ~ Part 1


Annyong hanseyo chingudeul...

Pertama-tama saya ingin memeinta maaf kepada pihak MBC Korea dan Para crew Beethoven Virus serta para pengagum Kim Myung Min (yang berperan sebagai Maestro Kang), serta Beethoven Virus. Karena saya sudah membuat cerita khayalan saya sendiri tentang cerita kelanjutan cerita Beethoven Virus yang lalu.

Sewaktu saya membongkar-bongkar myungmininternasional.com saya menemukan sebuah gambar , yaitu gambar antara Lee Ji Ah dan Kim Myung Min atau Du Ru Mi dengan Maestro. Kagetnya digambar itu ada tulisan Beethoven Virus Season 2, terus saya punya ide untuk meneruskan cerita tersebut. Karena di forum Myung Min Internasional juga dibahas akan hal itu Beethoven Virus Season 2, di Topik Beethoven Virus. Ada yang bilang kelanjutan ceritanya Du Ru Mi dan Maestro menikah setelah bertemu kembali, ada yang bilang Du Ru Mi setia selalu menunggu Maestro untuk segera datang ke Korea lagi, sungguh beragam komentar-komentar ditopik itu, buat ketawa-ketiwi bacanya. Kalau ada yang belum bergabung silakan bergabung disana, saya sudah bergabung dan memiliki banyak teman dari sana, baik dari Indonesia, Jepang ataupun Korea.
Tak perlu berlama lagi ini cerita khayalan terbitan dari khayalan saya...^^

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
Beethoven Virus Season 2




Part 1

Kembali ke alur sebelumnya, setelah memimpin beberapa lagu dalam konser gabungan antara orchestra Gun Woo muda dan orchestra kota, Maestro Kang pun pergi untuk kembali ke Jerman, karena masa 6 bulan dia telah berakhir di korea.

Sepeninggalan Maestro semua berjalan, ya... kehidupan ini akan terus berjalan seperti air yang mengalir dan tentunya akan ada hambatan yang menghadang. Dalam hidup tidak seterusnya itu mulus tetapi akan ada sesuatu yang mengahadang yang akan menambah cerita kehidupan itu bagus dan sempurna. Tanpa hambatan ataupun masalah yang ada hidup tidak sempurna, malah akan menimbulkan kebosanan.

Du Ru Mi pun menjalani operasi pada telinganya,  dan Gun Woo muda meneruskan pendidikannya di seni musik, sesuai janji dia kepada Maestro bahawa ia ingin kelak Maestro menjadi gurunya.
Suatu hari yang cerah...

“Du Ru Mi !!” teriak Gun Woo muda memanggil Ru Mi yang sedang menjemurkan pakaian dihalaman.

“Eh.. Gun Woo” (Huuuuffttt) Ru Mi menjawab dengan menghela nafas, “Bagaimana kabar Maestro disana ya ?”

“Entahlah, mungkin ia membunuh banyak orchestra disana, seperti julukan dia Sang Pembunuh Orchestra” (Hahahaaa...) jawab Gun Woo dengan candaan.

“Kau ini, aku serius” (Dengan memandang langit yang mulai mendung) jawab Ru Mi.

“Kau sepertinya tidak semangat sekali... hmm... Kau merindukan Maestro ya ?” (Dengan tatapan sedih)

“Ooo.. Aaa.. aa.. Gun Woo” Ru Mi kehilangan kata-kata. Dan tiba-tiba...

“Du Ru Mi !!” Bibi memanggil...

“Eh.. iya Bi, sebentar... Gun Woo, aku masuk dulu ya, nanti kita sambung lagi percakapan kita”

Suasana menjadi sepi dan tanpa kata. “Maestro apa kabar mu disana, apakah kau tahu ada seseorang yang menunggumu disini dengan setia setiap harinya. Walau pun ku tak bisa menempati relung hati Du Ru Mi, tetapi aku tak ingin melihat dia bersedih seperti ini. Dia tidak seperti dulu yang ceria setiap saat” (dalam dunia khayalan Gun Woo).



\\\\


Suasana dikantor mayor Choi, yang ribut dan berantakan dengan kertas-kertas serta berkas-berkas yang bertebaran disana sini.

“Bagaimana ini Mayor, suasana di kota ini menjadi semakinberantakan karena orchestra yang ditiadakan ?” Pak kepala polisi bertanya dengan nada sengal dan nafas yang tidak beraturan.

“Huh... seandainya maetro tidak berbuat sejauh ini waktu itu. Pasti tidak akan menjadi masalah yang sulit untuk meniadakan orchestra dikota ini”, (Dengan tatapan penuh kemarahan).

“Tapi mayor, bukankah sebelum Maestro berbuat sejauh itu ada muridnya ya.. itu dia ya... Gun Woo yang merencanakan hal itu sebelumnya”, Pak kepala polisi menjawab.

“Murid Maestro ya.. Hmm... Gu Woo”, (Dengan senyuman licik dan penuh kecurigaan Mayor berbicara).

Lalu Mayor mengambil ponsel genggamnya dan menghubungi seseorang dengan suara yang berbisik.

Tiba-tiba... tokk.. tokk.. tokk.. Cklekk... Seorang tinggi tegap memasuki ruangan Mayor.

“Kau, kepala polisi silakan tinggalkan aku berdua saja”, Mayor memerintahkan Kepala Polisi dengan  menunjuknya.

“Baa.. baikk...k Mayor”, Kepala Polisi pun keluar degan kepala tertunduk, 

(“Apa yang direncanakan mayor ya, membuatku bingung saja, semoga saja bukan rencana atau urusan yang membuat berantakan suasana kota ini”, Pak kepala polisi dalam khayalannya dengan menggaruk-garuk kepalanya.)

\\\


Ada telepon angkat  aku, angkat aku... Ada telepon angkat aku, angkat... (Irama Ponsel Gun Woo)
klik... “Ya Gun Woo disini, apa ?”, dengan kaget dan terburu-buru Gun Woo keluar dari rumah dan pergi.

Di tempat lainya, kandang hewan yang dimanfaatkan orchestra Gun Woo untuk latihan~

“Berarti mungkin Mayor sudah sadar dengan konspirasi kita kepada dia untuk mengembalikan orchestra benarkan ?”, Paman Yongki berbicara dengan lantang dan bangga.

Hyeden menjawab dengan nada bicara penuh kecurigaan, “Apakah benar, atau ada maksud tertentu.. hmm...”

“Kau tahu apa Hyeden, kau itu hanya anak kecil yang tak tahu apa-apa, sebaiknya kau pikirkan sekolahmu saja huuhfftt...”, Paman Yongki menyela Hyeden.

“Hehh... Kau ini.. sudah tua masih tidak berubah..”, Hyeden berbicara dengan nada marah.

“Apa kau bilang... Heyy.. kau ingin bertengkar.. Hah..”, Paman Yongki yang tersinggung pun tersulut amarahnya.

Lalu ditengah keributan~ “Mungkin benar juga yang dikatakan Hyeden” tiba-tiba Du Ru Mi berbicara.

Suasana pun menjadi sunyi dan sepi, serta tanpa kata. Hanya suara jangkrik dan suara hewan malam yang terdengar. Suara langkah seseorang berlari terdengar dari kejauhan...

“Apakah bbenar..  bena.. arr..?”, Hahh.. hahh.. hahh (Suara nafas Gun Woo yang tersengal-sengal) Gun Woo datang dan bertanya dengan nada bicara penuh ketidak percayaan...

To Be Continue~~~~





Rabu, 11 Januari 2012

Kutipan, Yi Soo berkata "Apakah kau pernah merasakan meninggal diusia 23 tahun?"

Malam ini jadi galau sendirian tiba-tiba, karenan dengerin Ost. 49 Days, dan tiba-tiba air mata netes waktu nulis Ost. 49 Days, There was Nothing-Jung Yeop lagu itu memang sedih banget, dan arti dari lagunya juga dalam banget, jadi merenung...


Tentang sebuah laku,
Yang ku tak tahu kan menjadi debu,
Atau segenap rindu..
Berlari ditepian jurang pilihan
Akan kemudharatan dan kemanfaatan,
Telahkah ku bergerser agar tak terjatuh,
Terselamatkan dengan selaksa patuh,
Akan perintah Rabb dengan utuh?

Astaghfirullah,
Masih dalam muhasabah hati,
Kucoba daki kesalahan didiri,
Mungkin gunung Uhud pun tak bisa menyamai,
Terkadang jadi ingin bersembunyi,
Tapi kusadar itu tak ada arti….

Subhanallah..
Ketika kulihat bentangan semesta,
Lewat taburan bintang dilangit terbuka,
Dengan hirupan nafas menyejukkan dipadang ilalang
Bermandi cahaya dikala siang terbentang,
Ya Rabb,
Betapa kerdilnya aku atas semua kuasa-Mu
Tak berarti amalan jika terbilang banyaknya dosa berbulu….

Allahu Akbar… Allahu Akbar… Allahu Akbar !!!!
Kutakbirkan nama-Mu tuk besarkan jiwa
Ingin seperti bilal yang mentasbihkan Ahad..Ahad..Ahad..
Yang dilihatnya adalah syurga,
Padahal dimata manusia.
Ia tengah disiksa tanpa ampun dan rasa belas….

Ya Illahi,
Dengan mencintai-Mu mereka mampu,
Menahan kegetiran dengan gambaran syurga-Mu,
Berjuang sendiri berlari antara shafa dan marwah tanpa kekasih disisi yang telah diikhlaskan pergi…
Yang harus melihat banyak sahabatnya berguguran untuk menjemput syahid dijalan-Mu…
Ia Bilal,
Ia Hajar,
Ia Rasululullah…

Alhamdulillah…
Ketika tersadar begitu melimpah sahabat berjuang
Yang tak hanya berharap diberi tapi juga berebut memberi…
Terkadang seperti aku tak berarti dengan kemampuan diri,
Tapi pergerakan tak butuh rendah diri,
Karena pergerakan butuh kekuatan hati…

Ya Allah, ya Kariim…
Mungkin aku belum seperti Salman al farisi dengan ikhlas dan pengorbananya,
Belum seperti Abud Darda’ dengan gemilang kesetiaannya pada-Mu
Atau hati ini tak sebening Abu Bakr’ yang dengan hatinya melihat Rasul-Mu dengan cintanya..
Ya,
Aku hanya sosok manusia biasa,
Dari jutaan hamba yang Kau ciptakan,
Yang mungkin tak sempurna
Tapi kuyakini diri untuk tak terputus,
Dari rahmat dan maghfirah-Mu…

Teringat perkataan Abdullah ibn Rawahah,
“Tetapi aku,
Kumohonkan ampun pada Ar Rahman dari pukulan keras buih lautan,
Atau hentakan mematikan ditangan yang dahaga menghunjam tombak menembus kulit ke dalam dada,
Hingga orang katakan ketika lalui pusaraku,
Inilah pahlawan yang mantaati Illahi”

Juga nasehat Al-Kindi tentang persahabatan,
“saudara seiman itu adalah dirimu,
Hanya saja dia itu orang lain,
Sebab kalian saling percaya,
Maka kalian adalah satu jiwa,
Hanya saja kini sedang hinggap dijasad yang berbeda”







Ingat kata-kata Yi Soo, dia bilang "Apakah kau pernah merasakan meninggal diusian 23 tahun?"
lalu bagaimana kalau itu aku ? gak akan kebayang kalau itu aku~

Gak ngebayangin juga gimana kalau aku harus cari 3 orang yang menangis dengan tulis untuk aku, untuk cari tetesan air matanya saja. Apakah ada yang nangis dan bersedih untuk aku ?
Hnaya Allah yang tahu....

Selasa, 10 Januari 2012

Ost. 49 Days, There Was Nothing-Jung Yeop

안녕하세... Annyong Hanseyo....?

Saat ini K-Dramas 49 Days sedang diputar di Indonesia, saat ini sedang musim yang tak menentu, terkadang hujan dan panas. Tetapi menurut ramalan cuaca Indonesia berpotensi hujan lebat disertai agin kencang, ya... sudah tidak kaget lagi dengan pemberitaan pohon yang tumbang, korban banjir dan berita lainnya.

Gak tau, lagu ini aku suka banget, sepertinya pembawaannya itu dihayati banget. Arti dari lagu itu pun juga memiliki arti yang dalam dan sedih. Terutama lagi dramanya juga sedih banget, kalau nonton drama ini harus siap-siap tissue, karena akan banyak adegan dan cerita sedih didrama ini.

Gak usah berlama lagi, ini dia lagu closing k-drama 49 Days yang buat aku jatuh hati banget, dan setiap hari didengerin mulu, pengantar tidur, kerjain tugas, jalan kekampus, dan kemana pun ^^






Hangul

Salmyeosi nunmuri musimko heulleowa
Nega ssitgyeo naerilkka bwa su eopsi humchyeonae
Ji ul su itneunde ijeul su itneunde
Neo eopneun nal amuri saenggakaedo nunmuri
Amu maldo eopseotdeon niga tteonagan geon niga
Anigil jebal
Dorawado gwaenchana dorawado gwaenchana
Jamsi neowa meoreojyeotdeon kkumil geoya
Amu ildo eopseotda amu ildo eopseotda
I bami jina kkae eonamyeon dasi neowa
Mameuro doenoe eo ipeuro doenoe eo
Neoreul ireobeorilkka bwa su eopsi doesaegyeo
Ji ul su itneunde ijeul su itneunde
From allfordrama.com
Neo eopneun amuri saenggakaedo duryeowo
Amu maldo eopseotdeon niga tteonagan geon niga
Anigil jebal
Dorawado gwaenchana dorawado gwaenchana
Jamsi neowa meoreojyeotdeon kkumil geoya
Amu ildo eopseotda amu ildo eopseotda
I bami jina kkae eonamyeon
Dorawado gwaenchana dorawado gwaenchana
Saranghae neol ajikdo neol jebal jebal
Amu ildo eopseotda amu ildo eopseotda
I bami jina kkae eonamyeon dasi neowa


Translation in Indonesia
Diam-diam air mata jatuh tanpa disadari
Aku mencoba membersihkannya, menyekanya berkali-kali sepanjang waktu
Meskipun aku hapus, meskipun aku lupa
Apapun bagaimanapun aku berfikir, tanpamu aku menangis

Aku tidak dapat berkata apapun, kau telah pergi
Itu tidak menyenangkan

Come back it’s okay.
Come back it’s okay.
Kita berpisah untuk sementara, aku hanya memimpikannya
Jika malam ini berlalu dan aku bangun, kembalilah lagi


Aku tetap mengulang ini di hatiku
Aku tetap mengulang ini di mulutku
Aku tetap mengingatkan diri sendiri bahwa aku kehilangan mu
Meskipun aku hapus, meskipun aku lupa
Apapun bagaimanapun aku berfikir, aku takut kehilangan mu

Aku tidak dapat berkata apapun, kau telah pergi
Itu tidak menyenangkan

Kita berpisah untuk sementara, aku hanya memimpikannya
Jika malam ini berlalu dan aku bangun


Selesai~

Link download OST ini Klik disini^^ 

Selamat mendengarkankan dan selamat bersendu-sendu ria ya...^^ bagi kisah kalian disini setelah mendengarkan lagu itu, atau perasaan kalian hehehee...

Senin, 02 Januari 2012

Senyummu Kekuatanku


Sahabat..ketika kepasrahan jiwa kita telah mencapai titik nadzir, keyakinan akan pertolongan Allah yang telah bulat, keyakinan yang mantap bahwa bersama kesulitan pasti ada kemudahan, maka tersenyumlah, lapangkanlah dada-dada kita.
Sesungguhnya senyuman akan sangat bermanfaat bagi kita, senyuman yang muncul karena kepasrahan, ketundukan dan keyakinan yang mantap akan pertolongan dari Allah akan membantu kita untuk menikmati hidup ini.
Sungguh dahsyat nya efek dari senyuman itu, senyum tanda ketentraman jiwa, senyum tanda optimisme, senyum tanda kebahagiaan. Apa gunanya kita bermuram durja, apa gunanya kita cemberut, bermuka masam sambil terus menerus menyesali, meratapi ujian atau cobaan yang menghampiri kita,, bukankah dengan seperti itu akan malah menguras tenaga kita, pikiran kita, jiwa-jiwa kita menjadi galau, pikiran kita menjadi kacau dan cuma lelah, lelah dan lelah yang kita dapat. Alangkah ruginya kita ketika kita terlalu mendramatisir kesulitan yang kita hadapi. Kesulitan yang sebenarnya hanya ringan menjadi berat dan menghimpit karena kita terlalu mendramatisirnya, energi kita terkuras untuk mengangkat beban yang sebenarnya ringan.
Alangkah indahnya ketika kita mampu menghadapi segala kesulitan dan cobaan itu dengan tersenyum, karena jiwa –jiwa seseorang yang murah senyum akan memacu diri kita untuk dapat menikmati kesulitan, akan mampu mendorong otak kita berpikir jernih untuk menyelesaikan permasalahan. Senyuman akan mampu menjaga stock energy positif kita agar tidak habis terkuras untuk menghadapi permasalahan, karena sesungguhnya ujian dan cobaan itu adalah sebuah keniscayaan. Sahabat..simpanlah energy yang tersisa itu, hematlah dia agar kita mampu bertahan dalam menjalani perjalanan-perjalanan hidup kita.
Sahabat, tersenyumlah karena orang yang murah tersenyum dalam menjalani hidup ini bukan saja orang yang paling mampu membahagiakan diri sendiri, tetapi orang yang paling mampu berbuat, orang yang sanggup memikul tanggung jawab, orang yang paling tangguh menghadapi kesulitan dan memecahkan persoalan, serta orang yang paling dapat menciptakan hal-hal yang bermanfaat bagi dirinya sendiri dan orang lain.



Sahabat tebarkanlah juga senyummu untuk saudaramu, karena senyummu kepada saudaramu adalah sedekah. Berikanlah sebuah senyum yang penuh ketulusan, senyum yang benar-benar timbul dari hati kita. Seberat apapun permasalahan yang kita hadapi, maka tetaplah tersenyum, tetaplah tebarkan senyummu karena senyummu itu adalah obat dari kesedihanmu. Sebagaimana perkataan abu darda bahwa sesungguhnya aku akan tertawa untuk membahagiakan diriku. Tertawalah dan tersenyumlah dengan wajar, dengan ketulusan, bukan tertawa dan tersenyum tanda kesinisan. Tertawa dan tersenyumlah sesuai kewajaran dan jangan berlebihan karena terlalu banyak tertawa juga akan mematikan hati.
Sahabat…yakinlah bahwa kemudahan itu pasti akan datang, tersenyumlah karena itu adalah tanda keceriaan, ujung rasa suka cita serta kegembiraan. Tersenyumlah, karena senyummu adalah kekuatanmu, dan tersenyumlah karena harapan itu masih ada.
Wallahua’lam bi showab...



Sumber : Klik disini^^

Materi Struktur Aljabar~SUBGRUP


Tugas kampus, buat makalah + dimasukin ke CDRW hmm...


SUBGRUP

  • A.    Pengertian Kompleks

Definisi
Himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu grup (G,o) disebut kompleks. Misalkan A dan B kompleks dari grup (G,o). Hasil kali kompleks AB adalah himpunan a o b dengan a anggota dari A dan b anggota dari B. Ditulis denga lambang : AB = {AoB | a Î A dan b Î B}.
Jika (G;o) suatu grup, dan A adalah himpunan bagian dari G, maka A-1 adalah himpunan semua elemen a-1 dengan a Î A, atau ditulis : A-1 = {A-1 | a Î A}.
Teorema
Jika A, B, dan C kompleks dari grup (G,o), maka (A B)C = A(B C).
Bukti :
Menggunakan definisi kesamaan dua himpunan
P = Q Û P Ì Q dan Q Ì P
1.      Ambil p Î (A B) C, berarti p = (a1 b1) c1 dengan a1 Î A, b1 Î B, dan c1Î C.
(a1 b1) c1 Î A(B C) dengan a1 Î A, b1 Î B, dan c1Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka  (a1 b1) c1 =  a1 (b1 c1) dan  (a1 b1) c1 Î A(B C).
" p Î (A B)C Þ p Î A(B C).
Jadi (AB)C Ì A(BC).
2.      Ambil q Î A(B  C), berarti q = a2 (b2 C2) dengan a2 Î A, b2 Î B, dan c2 Î C.
(a2 b2)c2 Î (A B)C dengan a2 Î A, b2 Î B, dan c2 Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka a2(b2 c2) = (a2 b2)c2 dan a2 (b2 c2) Î (A B)C.
"q Î A(B C) Þ q Î (A B)C.
Jadi A(B C) Ì (A B)C.

Jadi dari uraian (1) dan (2) maka diperoleh (A B)C = A(B C).



  • B.     Pengertian Subgrup

Definisi
Misalkan (G;o) suatu grup. S disebut subgrup dari G jika dan hanya jika S Ì G dan (S;o) merupakan suatu grup. Untuk menyatakan suatu subgrup dapat digunakan S atau H atau huruf lain yag dianggap perlu sehubungan dengan himpunannya.
Contoh 1
G = {1, -1, i, -i} dengan i = , terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup (periksalah). Sekarang perhatikanlah suatu himpunan bagian dari G yaitu H = {-1, 1}. Himpunan H terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup pula.
Hasil kali 1 dan -1 berada dalam H. Sifat asosiatif jelas berlaku. Elemen identitasnya adalah 1 dan setiap elemen dari H mempunyai invers, yaitu (-1)-1 =-1 dan 1-1 = 1.
 H Ì G, (G;x) suatu grup dan (H;x) merupakan suatu grup pula. Maka dikatakan bahwa H adalah subgrup dari G.

Contoh 2
Himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup. Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan juga merupakah suatu grup. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Maka terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilagan bulat adalah subgrup dari himpunan bilangan real.
B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} dan R = {x | x bilangan real}.
(B,+) subgrup dari (R,+).

  • C.    Sifat-sifat Subgrup

Teorema
Misalkan (G;o) suatu grup, S Ì G, dan S ≠ F
S adalah subgrup dari G jika hanya jika :
i.                    untuk setiap a, b, Î S terdapat a o b V S (S tertutup terhadap operasi o)



Bukti
i.         Diketahui (S,o) subgrup dari (G,o).
Akan dibuktikan bahwa :  "a, b Î S terdapat a o b Î S
                                           "a, Î S terdapat a-1  Î S
Ambil a, b  Î S, karena S subgrup maka memenuhi sifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap anggota mempunyai invers.
i.                    Dari sifat tertutup diperoleh :
"a, b Î S maka a o b Î S
ii.                  Dari setiap anggota S mempunyai invers diperoleh :
"a, Î S maka a-1  Î S
Teorema
Misalkan (G,o) suatu grup, S ≠ F dan S Ì G. H subgrup dari G bila dan hanya bila untuk setiap a, b, Î S berlaku a o b-1 Î S.
Bukti
i.         Dibuktikan : jika S subgrup dari G, maka untuk setiap a, b Î S berlaku a o b-1 Î S.
S subgrup dari G berarti (H,o) suatu grup.
Ambil b Î S, karena S suatu grup maka b-1 Î S.
Ambil a Î S dan b-1 Î S dan S suatu grup maka a o b-1 Î S.
Definisi
Misalkan (G,o) grup dengan elemen identitas i. (G,o) dan ({i},o) merupakan subgrup dari G, dan disebut subgrup tidak sejati dari G. Subgrup lainnya disebut subgrup sejati.
Teorema
Jika (T,o) subgrup dari (S,o) dan (S,o) subgrup (G,o) maka (T,o) subgrup dari (G,o).





Bukti
(T,o) subgrup dari (S,o) berarti T Ì S dan (T,o) grup.
(S,o) subgrup dari (G,o) berarti S Ì G dan (S,o) grup.
Jika T  Ì S dan S  Ì G maka T  Ì G.
Ì G dan (T,o) grup.
Jadi (T,o) subgrup dari (G,o)
Teorema
(G;o) suatu grup.
Apabila H dan K masing-masing adalah subgrup dari G maka H Ç K suatu subgrup dari G pula.
Bukti
Ambil sembarang a, b Î H Ç K.
a Î H Ç K Þ a Î H dan a Î K
b Î H Ç K Þ b Î H dan b Î K

a Î H dan b Î H Þ a o b Î H
a Î K dan b Î K Þ a o b Î K

a o b Î H dan a ob Î K maka a o b Î H Ç K.
Jadi H Ç K tertutup terhadap operasi o............(1)

Ambil sembarang a Î H Ç K maka a Î H dan a Î K.
a Î H dan H suatu subgrup maka a-1Î H
a Î K dan K suatu subgrup maka a-1Î K
a-1Î H dan a-1Î K maka a-1Î H Ç K
jadi elemen H Ç K mempunyai invers............(2)
Dari uraian (1) dan (2) disimpulkan bahwa H Ç K adalah subgrup dari G.


Teorema
(G,o) suatu grup.
Jika H subgrup dari G maka :
i.                    HH = H, dan
Bukti
i.                    Ambil sembarang y Î HH. Maka y = a o b dengan a, b Î H.
Karena a, b Î H, dan H suatu subgrup, maka a o b Î H, y Î HH, y = a o b dan a o b Î H. Berarti y Î H.
                        Jadi HH Ì H......................(1)
Ambil z Î H dan i Î H. Karena H subgrup, maka z o i Î HH.
Tetapi karena z o i = z, maka z Î HH.
                        Jadi H Ì HH......................(2)
Dari uraian diatas (1) dan (2) maka disimpulkan bahwa HH = H.

ii.                  Dibuktikan, HK = KH Þ HK suatu subgrup dari G.
Ambil sembarang a, c Î H dan b, d Î K dan karena H dan K masing-masing subgrup dari G, maka a o c Î H dan b o d Î K.

Ambil (a o b) Î HK dan (c o d) Î HK maka,
(a o b) o (c o d)            = ((a o b) o c) o d sifat asosiatif
                                                = (a o (b o c)) o d sifat asosiatif
                                                = (a o (c o b)) HK = KH
                                                = ((a o c) o b) o d sifat asosiatif
                                                = (a o c) o (b o d) sifat asosiatif
Jadi (a o b) o (c od) = (a o c) o (b o d).
Karena a o c Î H dan b o d Î K, maka (a o c) o (b o d) Î HK.
Sehingga (a o b) o (c o d) Î HK pula.

Hal ini berarti HK tertutup terhadap operasi o..................(1)
Ambil a Î H dan b Î K maka (a o b) Î HK.
a Î H dan H suatu subgrup maka a-1 Î HK.
b Î K dan K suatu subgrup maka b-1 Î K.
a-1 H dan b-1 K maka a-1 o b-1 Î HK.
Ingatlah bahwa (a o b)-1          = b-1 o a-1
                                               = a-1 o b-1 karena HK = KH
Sehingga (a o b)-1 Î HK pula.
Jadi jika (a o b) Î HK maka (a o b)-1 Î HK. Ini berarti setiap elemen HK mempunyai invers terhadap operasi o..............................(2)
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa HK adalah subgrup G.