Tugas kampus, buat makalah + dimasukin ke CDRW hmm...
SUBGRUP
- A. Pengertian Kompleks
Definisi
Himpunan
bagian yang tidak kosong dari suatu grup (G,o) disebut kompleks. Misalkan A dan
B kompleks dari grup (G,o). Hasil kali kompleks AB adalah himpunan a o b dengan
a anggota dari A dan b anggota dari B. Ditulis denga lambang : AB = {AoB |
a Î
A dan b Î
B}.
Jika
(G;o) suatu grup, dan A adalah himpunan bagian dari G, maka A-1
adalah himpunan semua elemen a-1 dengan a Î
A, atau ditulis : A-1 = {A-1 |
a Î
A}.
Teorema
Jika
A, B, dan C kompleks dari grup (G,o), maka (A B)C = A(B C).
Bukti
:
Menggunakan
definisi kesamaan dua himpunan
P
= Q Û
P Ì
Q dan Q Ì
P
1. Ambil
p Î
(A B) C, berarti p = (a1 b1) c1 dengan a1
Î
A, b1 Î B, dan c1Î
C.
(a1 b1) c1 Î
A(B C) dengan a1 Î A, b1 Î
B, dan c1Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat
asosiatif maka (a1 b1)
c1 = a1 (b1
c1) dan (a1 b1)
c1 Î
A(B C).
" p Î (A B)C Þ
p Î
A(B C).
Jadi (AB)C Ì
A(BC).
2. Ambil
q Î
A(B C), berarti q = a2 (b2
C2) dengan a2 Î A, b2
Î
B, dan c2 Î C.
(a2 b2)c2
Î
(A B)C dengan a2 Î A, b2 Î
B,
dan c2 Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat
asosiatif maka a2(b2 c2) = (a2 b2)c2
dan a2 (b2 c2) Î (A B)C.
"q Î A(B C) Þ
q Î
(A B)C.
Jadi A(B C) Ì
(A B)C.
Jadi
dari uraian (1) dan (2) maka diperoleh (A B)C = A(B C).
- B. Pengertian Subgrup
Definisi
Misalkan
(G;o) suatu grup. S disebut subgrup dari G jika dan hanya jika S Ì
G dan (S;o) merupakan suatu grup. Untuk menyatakan suatu subgrup dapat
digunakan S atau H atau huruf lain yag dianggap perlu sehubungan dengan
himpunannya.
Contoh 1
G
= {1, -1, i, -i} dengan i =
, terhadap operasi perkalian merupakan
suatu grup (periksalah). Sekarang perhatikanlah suatu himpunan bagian dari G
yaitu H = {-1, 1}. Himpunan H terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup
pula.
Hasil
kali 1 dan -1 berada dalam H. Sifat asosiatif jelas berlaku. Elemen
identitasnya adalah 1 dan setiap elemen dari H mempunyai invers, yaitu (-1)-1
=-1 dan 1-1 = 1.
H Ì G, (G;x) suatu
grup dan (H;x) merupakan suatu grup pula. Maka dikatakan bahwa H adalah subgrup
dari G.
Contoh 2
Himpunan
bilangan real terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup. Himpunan
bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan juga merupakah suatu grup. Himpunan
bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Maka
terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilagan bulat adalah subgrup dari
himpunan bilangan real.
B
= {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} dan R = {x | x bilangan
real}.
(B,+)
subgrup dari (R,+).
- C. Sifat-sifat Subgrup
Teorema
Misalkan
(G;o) suatu grup, S Ì G, dan S ≠ F
S
adalah subgrup dari G jika hanya jika :
i.
untuk setiap a, b, Î
S terdapat a o b V S (S tertutup terhadap operasi o)
Bukti
i.
Diketahui (S,o) subgrup dari (G,o).
Akan dibuktikan bahwa : "a,
b Î
S terdapat a o b Î S
"a,
Î
S terdapat a-1 Î
S
Ambil a, b Î S, karena S
subgrup maka memenuhi sifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan
setiap anggota mempunyai invers.
i.
Dari sifat tertutup diperoleh :
"a, b Î S maka a o b Î
S
ii.
Dari setiap anggota S mempunyai invers
diperoleh :
"a,
Î
S maka a-1 Î
S
Teorema
Misalkan
(G,o) suatu grup, S ≠ F dan S Ì G. H subgrup
dari G bila dan hanya bila untuk setiap a, b, Î S berlaku a o b-1
Î
S.
Bukti
i.
Dibuktikan : jika S subgrup dari G, maka
untuk setiap a, b Î
S berlaku a o b-1 Î
S.
S subgrup dari G berarti (H,o) suatu
grup.
Ambil b Î S, karena S
suatu grup maka b-1 Î S.
Ambil a Î S dan b-1
Î
S dan S suatu grup maka a o b-1 Î S.
Definisi
Misalkan
(G,o) grup dengan elemen identitas i. (G,o) dan ({i},o) merupakan subgrup dari
G, dan disebut subgrup tidak sejati dari G. Subgrup lainnya disebut subgrup
sejati.
Teorema
Jika
(T,o) subgrup dari (S,o) dan (S,o) subgrup (G,o) maka (T,o) subgrup dari (G,o).
Bukti
(T,o)
subgrup dari (S,o) berarti T Ì S dan (T,o) grup.
(S,o)
subgrup dari (G,o) berarti S Ì G dan (S,o) grup.
Jika
T Ì S dan S Ì G maka T Ì G.
T Ì G dan (T,o)
grup.
Jadi
(T,o) subgrup dari (G,o)
Teorema
(G;o)
suatu grup.
Apabila
H dan K masing-masing adalah subgrup dari G maka H Ç
K suatu subgrup dari G pula.
Bukti
Ambil
sembarang a, b Î H Ç K.
a
Î
H Ç
K Þ
a Î
H dan a Î
K
b
Î
H Ç
K Þ
b Î
H dan b Î
K
a
Î
H dan b Î
H Þ
a o b Î
H
a
Î
K dan b Î
K Þ
a o b Î
K
a
o b Î
H dan a ob Î
K maka a o b Î
H Ç
K.
Jadi
H Ç
K tertutup terhadap operasi o............(1)
Ambil
sembarang a Î
H Ç
K maka a Î
H dan a Î
K.
a
Î
H dan H suatu subgrup maka a-1Î H
a
Î
K dan K suatu subgrup maka a-1Î K
a-1Î
H dan a-1Î K maka a-1Î
H Ç
K
jadi
elemen H Ç
K mempunyai invers............(2)
Dari uraian (1) dan (2) disimpulkan
bahwa H Ç K adalah subgrup dari G.
Teorema
(G,o)
suatu grup.
Jika
H subgrup dari G maka :
i.
HH = H, dan
Bukti
i.
Ambil sembarang y Î
HH. Maka y = a o b dengan a, b Î H.
Karena a, b Î
H, dan H suatu subgrup, maka a o b Î H, y Î
HH, y = a o b dan a o b Î H. Berarti y Î
H.
Jadi
HH Ì
H......................(1)
Ambil z Î H dan i Î
H. Karena H subgrup, maka z o i Î HH.
Tetapi karena z o i = z, maka z Î
HH.
Jadi
H Ì
HH......................(2)
Dari uraian diatas (1) dan (2) maka
disimpulkan bahwa HH = H.
ii.
Dibuktikan, HK = KH Þ
HK suatu subgrup dari G.
Ambil sembarang a, c Î
H dan b, d Î
K dan karena H dan K masing-masing subgrup dari G, maka a o c Î
H dan b o d Î
K.
Ambil (a o b) Î
HK dan (c o d) Î HK maka,
(a o b) o (c o d) = ((a o b) o c) o d sifat asosiatif
=
(a o (b o c)) o d sifat asosiatif
=
(a o (c o b)) HK = KH
=
((a o c) o b) o d sifat asosiatif
=
(a o c) o (b o d) sifat asosiatif
Jadi (a o b) o (c od) = (a o c) o (b o
d).
Karena a o c Î
H dan b o d Î
K, maka (a o c) o (b o d) Î HK.
Sehingga (a o b) o (c o d) Î
HK pula.
Hal ini berarti HK tertutup terhadap
operasi o..................(1)
Ambil a Î H dan b Î
K maka (a o b) Î HK.
a Î
H dan H suatu subgrup maka a-1 Î
HK.
b Î K dan K suatu
subgrup maka b-1 Î K.
a-1 H dan b-1 K
maka a-1 o b-1 Î HK.
Ingatlah bahwa (a o b)-1 = b-1 o a-1
=
a-1 o b-1 karena HK = KH
Sehingga (a o b)-1 Î
HK pula.
Jadi jika (a o b) Î
HK maka (a o b)-1 Î HK. Ini berarti setiap elemen HK
mempunyai invers terhadap operasi o..............................(2)
Dari uraian diatas disimpulkan bahwa HK
adalah subgrup G.
