Senyummu Kekuatanku

Sahabat..ketika kepasrahan jiwa kita telah mencapai titik nadzir, keyakinan akan pertolongan Allah yang telah bulat, keyakinan yang mantap bahwa bersama kesulitan pasti ada kemudahan, maka tersenyumlah, lapangkanlah dada-dada kita.
Sesungguhnya senyuman akan sangat bermanfaat bagi kita, senyuman yang muncul karena kepasrahan, ketundukan dan keyakinan yang mantap akan pertolongan dari Allah akan membantu kita untuk menikmati hidup ini.
Sungguh dahsyat nya efek dari senyuman itu, senyum tanda ketentraman jiwa, senyum tanda optimisme, senyum tanda kebahagiaan. Apa gunanya kita bermuram durja, apa gunanya kita cemberut, bermuka masam sambil terus menerus menyesali, meratapi ujian atau cobaan yang menghampiri kita,, bukankah dengan seperti itu akan malah menguras tenaga kita, pikiran kita, jiwa-jiwa kita menjadi galau, pikiran kita menjadi kacau dan cuma lelah, lelah dan lelah yang kita dapat. Alangkah ruginya kita ketika kita terlalu mendramatisir kesulitan yang kita hadapi. Kesulitan yang sebenarnya hanya ringan menjadi berat dan menghimpit karena kita terlalu mendramatisirnya, energi kita terkuras untuk mengangkat beban yang sebenarnya ringan.
Alangkah indahnya ketika kita mampu menghadapi segala kesulitan dan cobaan itu dengan tersenyum, karena jiwa –jiwa seseorang yang murah senyum akan memacu diri kita untuk dapat menikmati kesulitan, akan mampu mendorong otak kita berpikir jernih untuk menyelesaikan permasalahan. Senyuman akan mampu menjaga stock energy positif kita agar tidak habis terkuras untuk menghadapi permasalahan, karena sesungguhnya ujian dan cobaan itu adalah sebuah keniscayaan. Sahabat..simpanlah energy yang tersisa itu, hematlah dia agar kita mampu bertahan dalam menjalani perjalanan-perjalanan hidup kita.
Sahabat, tersenyumlah karena orang yang murah tersenyum dalam menjalani hidup ini bukan saja orang yang paling mampu membahagiakan diri sendiri, tetapi orang yang paling mampu berbuat, orang yang sanggup memikul tanggung jawab, orang yang paling tangguh menghadapi kesulitan dan memecahkan persoalan, serta orang yang paling dapat menciptakan hal-hal yang bermanfaat bagi dirinya sendiri dan orang lain.

Sahabat tebarkanlah juga senyummu untuk saudaramu, karena senyummu kepada saudaramu adalah sedekah. Berikanlah sebuah senyum yang penuh ketulusan, senyum yang benar-benar timbul dari hati kita. Seberat apapun permasalahan yang kita hadapi, maka tetaplah tersenyum, tetaplah tebarkan senyummu karena senyummu itu adalah obat dari kesedihanmu. Sebagaimana perkataan abu darda bahwa sesungguhnya aku akan tertawa untuk membahagiakan diriku. Tertawalah dan tersenyumlah dengan wajar, dengan ketulusan, bukan tertawa dan tersenyum tanda kesinisan. Tertawa dan tersenyumlah sesuai kewajaran dan jangan berlebihan karena terlalu banyak tertawa juga akan mematikan hati.
Sahabat…yakinlah bahwa kemudahan itu pasti akan datang, tersenyumlah karena itu adalah tanda keceriaan, ujung rasa suka cita serta kegembiraan. Tersenyumlah, karena senyummu adalah kekuatanmu, dan tersenyumlah karena harapan itu masih ada.
Wallahua’lam bi showab...



Sumber : Klik disini^^

Materi Struktur Aljabar~SUBGRUP

Tugas kampus, buat makalah + dimasukin ke CDRW hmm...

SUBGRUP

• A.    Pengertian Kompleks

Definisi

Himpunan bagian yang tidak kosong dari suatu grup (G,o) disebut kompleks. Misalkan A dan B kompleks dari grup (G,o). Hasil kali kompleks AB adalah himpunan a o b dengan a anggota dari A dan b anggota dari B. Ditulis denga lambang : AB = {AoB | a Î A dan b Î B}.

Jika (G;o) suatu grup, dan A adalah himpunan bagian dari G, maka A^-1 adalah himpunan semua elemen a^-1 dengan a Î A, atau ditulis : A^-1 = {A^-1 | a Î A}.

Teorema

Jika A, B, dan C kompleks dari grup (G,o), maka (A B)C = A(B C).

Bukti :

Menggunakan definisi kesamaan dua himpunan

P = Q Û P Ì Q dan Q Ì P

1.      Ambil p Î (A B) C, berarti p = (a₁ b₁) c₁ dengan a₁ Î A, b₁ Î B, dan c₁Î C.

(a₁ b₁) c₁ Î A(B C) dengan a₁ Î A, b₁ Î B, dan c₁Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka  (a₁ b₁) c₁ =  a₁ (b₁ c₁) dan  (a₁ b₁) c₁ Î A(B C).

" p Î (A B)C Þ p Î A(B C).

Jadi (AB)C Ì A(BC).

2.      Ambil q Î A(B  C), berarti q = a₂ (b₂ C₂) dengan a₂ Î A, b₂ Î B, dan c₂ Î C.

(a₂ b₂)c₂ Î (A B)C dengan a₂ Î A, b₂ Î B, dan c₂ Î C. Karena suatu grup memenuhi sifat asosiatif maka a₂(b₂ c₂) = (a₂ b₂)c₂ dan a₂ (b₂ c₂) Î (A B)C.

"q Î A(B C) Þ q Î (A B)C.

Jadi A(B C) Ì (A B)C.

Jadi dari uraian (1) dan (2) maka diperoleh (A B)C = A(B C).

• B.     Pengertian Subgrup

Definisi

Misalkan (G;o) suatu grup. S disebut subgrup dari G jika dan hanya jika S Ì G dan (S;o) merupakan suatu grup. Untuk menyatakan suatu subgrup dapat digunakan S atau H atau huruf lain yag dianggap perlu sehubungan dengan himpunannya.

Contoh 1

G = {1, -1, i, -i} dengan i = , terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup (periksalah). Sekarang perhatikanlah suatu himpunan bagian dari G yaitu H = {-1, 1}. Himpunan H terhadap operasi perkalian merupakan suatu grup pula.

Hasil kali 1 dan -1 berada dalam H. Sifat asosiatif jelas berlaku. Elemen identitasnya adalah 1 dan setiap elemen dari H mempunyai invers, yaitu (-1)^-1 =-1 dan 1^-1 = 1.

 H Ì G, (G;x) suatu grup dan (H;x) merupakan suatu grup pula. Maka dikatakan bahwa H adalah subgrup dari G.

Contoh 2

Himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan merupakan suatu grup. Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan juga merupakah suatu grup. Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan real. Maka terhadap operasi penjumlahan, himpunan bilagan bulat adalah subgrup dari himpunan bilangan real.

B = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} dan R = {x | x bilangan real}.

(B,+) subgrup dari (R,+).

• C.    Sifat-sifat Subgrup

Teorema

Misalkan (G;o) suatu grup, S Ì G, dan S ≠ F

S adalah subgrup dari G jika hanya jika :

i.                    untuk setiap a, b, Î S terdapat a o b V S (S tertutup terhadap operasi o)

Bukti

i.         Diketahui (S,o) subgrup dari (G,o).

Akan dibuktikan bahwa :  "a, b Î S terdapat a o b Î S

                                           "a, Î S terdapat a^-1  Î S

Ambil a, b  Î S, karena S subgrup maka memenuhi sifat tertutup, asosiatif, mempunyai elemen identitas dan setiap anggota mempunyai invers.

i.                    Dari sifat tertutup diperoleh :

"a, b Î S maka a o b Î S

ii.                  Dari setiap anggota S mempunyai invers diperoleh :

"a, Î S maka a^-1  Î S

Teorema

Misalkan (G,o) suatu grup, S ≠ F dan S Ì G. H subgrup dari G bila dan hanya bila untuk setiap a, b, Î S berlaku a o b^-1 Î S.

Bukti

i.         Dibuktikan : jika S subgrup dari G, maka untuk setiap a, b Î S berlaku a o b^-1 Î S.

S subgrup dari G berarti (H,o) suatu grup.

Ambil b Î S, karena S suatu grup maka b^-1 Î S.

Ambil a Î S dan b^-1 Î S dan S suatu grup maka a o b^-1 Î S.

Definisi

Misalkan (G,o) grup dengan elemen identitas i. (G,o) dan ({i},o) merupakan subgrup dari G, dan disebut subgrup tidak sejati dari G. Subgrup lainnya disebut subgrup sejati.

Teorema

Jika (T,o) subgrup dari (S,o) dan (S,o) subgrup (G,o) maka (T,o) subgrup dari (G,o).

Bukti

(T,o) subgrup dari (S,o) berarti T Ì S dan (T,o) grup.

(S,o) subgrup dari (G,o) berarti S Ì G dan (S,o) grup.

Jika T  Ì S dan S  Ì G maka T  Ì G.

T  Ì G dan (T,o) grup.

Jadi (T,o) subgrup dari (G,o)

Teorema

(G;o) suatu grup.

Apabila H dan K masing-masing adalah subgrup dari G maka H Ç K suatu subgrup dari G pula.

Bukti

Ambil sembarang a, b Î H Ç K.

a Î H Ç K Þ a Î H dan a Î K

b Î H Ç K Þ b Î H dan b Î K

a Î H dan b Î H Þ a o b Î H

a Î K dan b Î K Þ a o b Î K

a o b Î H dan a ob Î K maka a o b Î H Ç K.

Jadi H Ç K tertutup terhadap operasi o............(1)

Ambil sembarang a Î H Ç K maka a Î H dan a Î K.

a Î H dan H suatu subgrup maka a^-1Î H

a Î K dan K suatu subgrup maka a^-1Î K

a^-1Î H dan a^-1Î K maka a^-1Î H Ç K

jadi elemen H Ç K mempunyai invers............(2)

Dari uraian (1) dan (2) disimpulkan bahwa H Ç K adalah subgrup dari G.

Teorema

(G,o) suatu grup.

Jika H subgrup dari G maka :

i.                    HH = H, dan

Bukti

i.                    Ambil sembarang y Î HH. Maka y = a o b dengan a, b Î H.

Karena a, b Î H, dan H suatu subgrup, maka a o b Î H, y Î HH, y = a o b dan a o b Î H. Berarti y Î H.

                        Jadi HH Ì H......................(1)

Ambil z Î H dan i Î H. Karena H subgrup, maka z o i Î HH.

Tetapi karena z o i = z, maka z Î HH.

                        Jadi H Ì HH......................(2)

Dari uraian diatas (1) dan (2) maka disimpulkan bahwa HH = H.

ii.                  Dibuktikan, HK = KH Þ HK suatu subgrup dari G.

Ambil sembarang a, c Î H dan b, d Î K dan karena H dan K masing-masing subgrup dari G, maka a o c Î H dan b o d Î K.

Ambil (a o b) Î HK dan (c o d) Î HK maka,

(a o b) o (c o d)            = ((a o b) o c) o d sifat asosiatif

                                                = (a o (b o c)) o d sifat asosiatif

                                                = (a o (c o b)) HK = KH

                                                = ((a o c) o b) o d sifat asosiatif

                                                = (a o c) o (b o d) sifat asosiatif

Jadi (a o b) o (c od) = (a o c) o (b o d).

Karena a o c Î H dan b o d Î K, maka (a o c) o (b o d) Î HK.

Sehingga (a o b) o (c o d) Î HK pula.

Hal ini berarti HK tertutup terhadap operasi o..................(1)

Ambil a Î H dan b Î K maka (a o b) Î HK.

a Î H dan H suatu subgrup maka a^-1 Î HK.

b Î K dan K suatu subgrup maka b^-1 Î K.

a^-1 H dan b^-1 K maka a^-1 o b^-1 Î HK.

Ingatlah bahwa (a o b)^-1          = b^-1 o a^-1

                                               = a^-1 o b^-1 karena HK = KH

Sehingga (a o b)^-1 Î HK pula.

Jadi jika (a o b) Î HK maka (a o b)^-1 Î HK. Ini berarti setiap elemen HK mempunyai invers terhadap operasi o..............................(2)

Dari uraian diatas disimpulkan bahwa HK adalah subgrup G.